転居によって新たに住民税の対象となった場合は日本年金機構へ扶養親族等申告書の提出は必要なのでしょうか。

年金支払時点に居住している市区町村において個人住民税の非課税限度額に満たない場合は、申告書の提出は不要です。
転居先の市区町村において非課税限度額以上になった場合、確定申告や市区町村への個人住民税の申告を行うことで控除を受けることができます。
市区町村ごとの級地区分については、「住民税の非課税限度額基準について」を参照してください。